物理
第14回 科学の甲子園全国大会
実技競技①（物理分野）「スマホのセンサー」・観戦記
今回の物理分野の実技競技は、私たちが日常的に使っているスマートフォンに搭載されている加速度センサーについて学習することである。この種のセンサーは歩数の計測などに使われている。
物体の加速度とは単位時間当たりの速度の変化量である。鉛直落下では速さが刻々増し、それが重力加速度である。一方、速さが一定でも速度の向きが変われば加速度は 0 ではない。等速円運動が典型例で、半径 \(r\)、速さ \(v\) のとき、加速度は円の中心方向を向き、大きさ \(a\) は
で与えられる。
問１
半径 \(r = 10.0\,\mathrm{cm}\)、周期 \(T = 2.00\,\mathrm{s}\) の等速円運動について速さ \(v\) と加速度の大きさ \(a\) を求めよ。
<実験１>
加速度センサー付きマイコンボードと PC（アプリ Appin.exe）で \(X,Y,Z\) 軸の加速度をリアルタイム計測する。
問２
水平面に静置したとき 0 にならない軸とその値（有効数字 2 桁）を答えよ。
推定解：鉛直（\(Z\) 軸）で \(9.8\,\mathrm{m/s^{2}}\)。
問３
マイコンボードを前後左右上下に動かし、写真１の各方向が何軸に対応するか答えよ（水平面は \(X,Y\) 軸）。
問４
空欄補充 — 「センサー自身が運動する時の加速度に（ ）を加えたものを測っている」
答：重力加速度
<実験２>
ロクロ上に回転板（6 パターンの縞模様）と測定板を取り付け、円運動の加速度と周期の関係を検証する。
ストロボ効果
iPad（30 fps）で縞模様を撮影し、逆回転が始まる直前を周期測定の指標とする。
問５
逆回転直前の加速度を計測し、加速度ベクトルの向きが物体と中心を結ぶ線（向心方向）であることを確かめよ。
問６
センサーを中心から \(r = 15.0\,\mathrm{cm}\) に固定し、5 パターンそれぞれで周期 \(T\) と加速度 \(a\) を測定せよ。合成は
問７
縦軸 \(a\)、横軸 \(\dfrac{r}{T^{2}}\) （今回 \(r = 0.15\,\mathrm{m}\)）としてプロットし、データが傾き \((2\pi)^{2}\) の直線に乗ることを示せ。
問８
半径を変えた 2 条件についても同様に測定し、同じグラフ上で直線性を確認せよ。
<実験３> ブラックボックス内センサー位置推定
ブラックボックス内の加速度センサー位置 \(C(x,y)\) を決定するため、測定板中心 \(O\) から距離 \(r_0\) の点 \(A\) を利用して 2 つの独立測定を行う。
連立して解くと
ここに測定値 \(r_0,r_a,r_b\) を代入して \(C\) を求める。
実技競技①は競技者 3 名、競技時間 100 分。短時間で装置に習熟し、チームワークで課題に挑む姿は観客席から見ても頼もしく、楽しげであった。実験も学習も、何事も「楽しく取り組む」ことの大切さを感じさせる競技であった。
横浜国立大学名誉教授 佐々木賢
先輩が解説する２０２５科学の甲子園全国大会、筆記競技、実技競技 – 生物
先輩が解説する２０２５科学の甲子園全国大会、筆記競技、実技競技 – 数学
数学
筆記競技 数学
【第 9 問】
平方数の性質と鳩の巣原理による証明—平方数とは、ある整数を 2 乗して得られる数のことを指す。これは「図形数」（一定の規則で図形状に並べられた点の個数として表される自然数の総称）としても知られており，紀元前から興味の対象とされてきた。
《問 1》
自然数が平方数となるための必要十分条件，すなわち「（正の）約数の個数が奇数である自然数は平方数に限る」という古典的な命題の証明が出題された。
一般に，自然数を素因数分解して \(n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}\) と書くと，約数の個数は \((a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1)\) に等しい。
また，平方数を素因数分解すると，各素因数の指数がすべて偶数になることを用いて証明できる。
この問題を別の視点から眺めてみよう。自然数 \(n\) に対して，\(\sqrt{n}\) 以下の自然数 \(a\) が約数であったとする。このとき \(n/a\) も約数なので，これを \(b\) とおくと，\(b\) は \(\sqrt{n}\) 以上の自然数となる。つまり，約数全体は掛け合わせると \(n\) になる対 \((a,b)\) の集合で構成される。
もし \(\sqrt{n}\) が自然数（すなわち \(n\) が平方数）であれば \(a=b=\sqrt{n}\) となり，約数の個数が奇数になることが直観的にわかる。
また，\(\sqrt{n}\) 以下の素数で \(n\) を割り切れない場合，\(n\) は素数である（試し割り法）。
《問 2》
問 3 を解くための誘導問題。条件を満たす自然数をどのように構成するかがカギとなる。
条件〈1〉より素因数は 2, 3, 5 のみなので，すべて \(2^x 3^y 5^z\) の形で書ける数だけを考える。
条件〈2〉より，どの異なる 2 数を掛けても平方数とならないようにする必要があるため，具体的な数ではなく指数の偶奇に注目して素因数分解の形で考察した方が効率的である。
《問 3》
問 2 では異なる 8 個の自然数で条件を満たす組を構成できたが，9 個に増やすと必ず平方数になる組が存在する。これは鳩の巣原理を用いて示す。
鳩の巣原理とは「m 個の鳩の巣に m+1 羽の鳩が入ると，どこかの巣に 2 羽以上入る」という初等的事実である。ここでは鳩＝9 個の自然数，鳩の巣＝各数の指数部の偶奇タイプ（全部で 8 通り）とみなす。
指数部 \((x,y,z)\) の偶奇による 8 通りのタイプ分けに 9 個の数を入れれば，同じタイプが 2 つ以上現れ，その積は平方数になる。
【第 10 問】
三目並べ（○×ゲーム, Tic-Tac-Toe）を 3 次元に拡張したパズルに関する問題が出題された。
《問 1》
3×3 のマス目で四隅のボールの色が決まっているとき，残り 5 マスをどのように選んでも三目並びのない配置を作れるかを考える。解き方はナンプレの Naked Single に相当する手筋である。
《問 2》
3 次元拡張（三層構造）で，一番上の層が「タイプ C」なら必ず三目並びが存在することを示す。空欄補充形式の誘導問題。
《問 3》
さらに一般化して 3×3×3 の部屋で，いかなる配置でも三目並びが生じることを証明する。問 1 で 4 タイプ中 2 タイプは NG であったため，各層はタイプ B または C に限られるが，表面がタイプ C だと問 2 に帰着してアウト。従って表面はタイプ B となり，頂点 8 部屋の色が 2 パターンに絞られる。ここから問 2 の議論を繰り返す。
足利大学 非常勤講師 中川耕一
先輩が解説する２０２５科学の甲子園全国大会、筆記競技、実技競技 – 物理
先輩が解説する２０２５科学の甲子園全国大会、筆記競技、実技競技 – 生物
生物
実技競技① - 生物
「世界最大のウイルスを探せ！」というキャッチーなタイトルで行われたこの実技競技は、水を沸騰させて3つの異なる温度（98℃、55℃、72℃）のお湯を用意することからスタートした。競技説明の後、1分間の作戦タイムを経て、100分間の競技が始まった。
この競技では、次の４つのミッションが課されました。
ミッション1：フィールドの選定とDNA回収
5つのフィールドのうち、パンドラウイルスがいると思われる場所を最大3つまで選び、そこからDNAの入っているチューブを回収するというもの。この時点でパンドラウイルスのいるフィールドを正しく選択できないと、手動PCRや電気泳動をしてもパンドラウイルスのDNAを検出することはできない。ただし、配布された「実験の手引き」を手がかりにすれば、どこにパンドラウイルスが生息しているのか検討をつけるのは難しくないだろう。
ミッション2：手動PCRによるDNA増幅
次は、パンドラウイルスのDNAを手動で増幅するステージ。PCRの原理については省略するが、このときのポイントは、グリル鍋のお湯の量と沸騰の持続である。この3種のお湯が適切な温度に保たれないと、パンドラウイルスのDNAを増幅することができなくなってしまう。
ミッション3：電気泳動によるDNA断片の解析
増幅したDNA断片の大きさを確認するために、電気泳動を行う。電気泳動では、DNA断片の大きさによってDNA断片の移動距離が変わってくるため、パンドラウイルスのDNA断片が増幅されたかどうかを視覚的に判断することができる。電気泳動のウェルに試料を注入する作業にはコツが必要で、初めての操作で必ず成功するとは限らない。しかし、競技開始前に動画で丁寧に解説されているため、慎重に操作が行えたのではないかと思われる。また、電気泳動後のゲルの撮影装置も手作りしなければならず、「見やすく撮影できる装置」を作ることが鍵となる。
ミッション4：筆記問題と考察
最後のステージでは関連する筆記問題に解答する。PCRの原理やウイルスの生態系での役割などに関する問題が出題された。筆記問題の最後には、今回の実験結果をもとに考察する問題があり、手動PCRと電気泳動で得られたミミウイルスのDNAの結果をパンドラウイルスの結果と比較することにより、考察がしやすくなっている。
総じて、この競技には繊細な作業を手際良くやることや、チームワークが求められた。ところで、100分という短い制限時間の中で、20-30分ほどを手動PCRに費やさなければならず、そのポイントが「いかに温度を保つか」という現在の研究室では全く必要のないスキルであるという点で、この競技を不満に思った生徒もいたかもしれない。確かに現在の一般的な研究室では、PCRをサーマルサイクラーと呼ばれる機械を用いて行うからだ。
しかし今回の競技のように苦労して手作業でPCRを行うことは、その原理を改めて実感するのには欠かせない。最近は機器や試薬が便利なものになり、原理を知らなくても実験を進められる時代になりつつあるが、。出題者の意図は、現代のそうした潮流に対して、「科学を志す生徒には土台となる知識を学び続けることを怠らないでほしい」というメッセージが込められているのかもしれない。いずれにしても、あえて一回でも、手を動かしてその原理を体感することは、研究のアイディアを出したり、実験のトラブルシューティングをしたりする際にも役立つはずだ。
この競技は生徒たちにとって、単なる競技を越えた「学びの糧」になったに違いない。
京都大学農学部4年 土田美咲